Apéndice B — Apéndice: conceptos básicos de algebra matricial

B.1 Concepto de matriz

Una matriz es un conjunto ordenado de números dispuesto en filas y columnas. Sea $A$ una matriz con $m$ filas y $n$ columnas. Diremos que $A$ tiene dimensión $m \times n$, donde $m$ representa el número de filas y $n$ el número de columnas.

El elemento de la matriz $A$ situado en la fila $i$ y la columna $j$ se denota por $a_{ij}$, con:

\[ i=1,\ldots,m, \qquad j=1,\ldots,n. \]

Por ejemplo, la matriz:

\[ A= \begin{pmatrix} 2 & 4 & 1\\ 3 & 0 & 5 \end{pmatrix} \]

tiene dimensión $2\times3$. En este caso, $a_{12}=4$, ya que el elemento situado en la primera fila y segunda columna es 4.

B.2 Operaciones con matrices

Las principales operaciones con matrices que utilizaremos en econometría son:

Suma de matrices: $A+B$. Para poder sumar dos matrices, ambas deben tener las mismas dimensiones. La suma se realiza elemento a elemento.
Producto de matrices: $AB$. Para que el producto pueda realizarse, el número de columnas de la primera matriz debe coincidir con el número de filas de la segunda.
Producto de una matriz por un escalar: $\lambda A$, donde $\lambda$ es un número real. El resultado es una matriz de las mismas dimensiones que $A$.
Determinante de una matriz: $\det(A)$. El determinante únicamente está definido para matrices cuadradas y será especialmente importante para estudiar si una matriz es invertible.

La suma de matrices satisface las propiedades asociativa y conmutativa:

\[ (A+B)+C=A+(B+C), \]

\[ A+B=B+A. \]

El producto de matrices es asociativo:

\[ (AB)C=A(BC), \]

y se verifican las propiedades distributivas:

\[ (A+B)C=AC+BC, \]

\[ D(E+F)=DE+DF. \]

Es importante recordar que, en general, el producto de matrices no es conmutativo. Es decir:

\[ AB\neq BA. \]

Esta característica será especialmente importante al trabajar con la expresión matricial de los estimadores MCO.

B.3 Matriz transpuesta

Dada una matriz $A$ de dimensión $m\times n$, se denomina matriz transpuesta de $A$, y se denota como $A'$ o $A^T$, a la matriz de dimensión $n\times m$ que se obtiene intercambiando filas por columnas.

Por ejemplo:

\[ A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \]

tiene como transpuesta:

\[ A'= \begin{pmatrix} 1 & 4\\ 2 & 5\\ 3 & 6 \end{pmatrix}. \]

La transposición verifica las siguientes propiedades:

$(A')'=A$.
$(A+B)'=A'+B'$.
$(AB)'=B'A'$.

La tercera propiedad es especialmente importante: al transponer un producto se invierte el orden de las matrices.

B.4 Rango de una matriz

El rango de una matriz $A$, que denotaremos como $rg(A)$, es el número máximo de filas o columnas linealmente independientes de la matriz.

Si $A$ tiene dimensión $m\times n$, entonces:

\[ rg(A)\leq \min(m,n). \]

Cuando:

\[ rg(A)=\min(m,n), \]

se dice que la matriz tiene rango completo.

El concepto de rango es especialmente relevante en econometría porque permite determinar si existe información redundante entre las variables explicativas. En particular, la colinealidad exacta aparece cuando las columnas de la matriz de variables explicativas no son linealmente independientes.

B.5 Matriz cuadrada

Una matriz es cuadrada cuando tiene el mismo número de filas y columnas. Si tiene $m$ filas y $m$ columnas, se dice que es una matriz cuadrada de orden $m$.

Algunos conceptos importantes asociados a las matrices cuadradas son:

La diagonal principal está formada por los elementos:

\[ a_{11},a_{22},\ldots,a_{mm}. \]

Una matriz cuadrada es diagonal cuando todos los elementos situados fuera de la diagonal principal son iguales a cero.
La matriz identidad, que denotaremos por $I_m$, es una matriz cuadrada cuya diagonal principal está formada por unos y cuyos restantes elementos son ceros:

\[ I_m= \begin{pmatrix} 1&0&\cdots&0\\ 0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&1 \end{pmatrix}. \]

La matriz identidad desempeña un papel equivalente al número 1 en las operaciones con escalares.

Una matriz cuadrada $A$ es invertible si existe una matriz $A^{-1}$ tal que:

\[ AA^{-1}=A^{-1}A=I_m. \]

La matriz $A^{-1}$ recibe el nombre de matriz inversa de $A$.

Una matriz cuadrada es invertible si su determinante es distinto de cero:

\[ \det(A)\neq0. \]

La traza de una matriz cuadrada $A$, que denotaremos como $tr(A)$, es la suma de los elementos de su diagonal principal:

\[ tr(A)=\sum_{i=1}^{m}a_{ii}. \]

Entre sus propiedades destacan:

\[ tr(A+B)=tr(A)+tr(B), \]

\[ tr(\lambda A)=\lambda tr(A). \]

Además, cuando los productos están correctamente definidos:

\[ tr(AB)=tr(BA). \]

Una matriz cuadrada $A$ es simétrica cuando coincide con su transpuesta:

\[ A=A'. \]

Por ejemplo:

\[ A= \begin{pmatrix} 2&1\\ 1&3 \end{pmatrix} \]

es simétrica.

B.6 Aplicación de las matrices a la estimación por MCO

La principal razón por la que repasamos estos conceptos es que el modelo de regresión lineal puede expresarse de forma compacta mediante matrices.

Consideremos un modelo con una variable dependiente $Y$ y una variable explicativa $X$:

\[ Y_i=\beta_0+\beta_1X_i+u_i. \]

Para $n$ observaciones, podemos escribir:

\[ \mathbf{Y}=\mathbf{X}\boldsymbol{\beta}+\mathbf{u}, \]

donde:

\[ \mathbf{Y}= \begin{pmatrix} Y_1\\ Y_2\\ \vdots\\ Y_n \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{X}= \begin{pmatrix} 1&X_1\\ 1&X_2\\ \vdots&\vdots\\ 1&X_n \end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol{\beta}= \begin{pmatrix} \beta_0\\ \beta_1 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{u}= \begin{pmatrix} u_1\\ u_2\\ \vdots\\ u_n \end{pmatrix}. \]

El estimador de mínimos cuadrados ordinarios puede expresarse mediante:

\[ \widehat{\boldsymbol{\beta}}=(\mathbf{X}'\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}'\mathbf{Y}. \]

Esta expresión permite obtener simultáneamente todos los coeficientes estimados del modelo.

B.6.1 Ejemplo sencillo mediante multiplicación de matrices

Supongamos que disponemos de tres observaciones:

$X$	$Y$
1	2
2	3
3	5

La matriz de variables explicativas, incluyendo el término independiente, es:

\[ \mathbf{X}= \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&2\\ 1&3 \end{pmatrix}, \]

mientras que el vector de la variable dependiente es:

\[ \mathbf{Y}= \begin{pmatrix} 2\\ 3\\ 5 \end{pmatrix}. \]

En primer lugar, calculamos:

\[ \mathbf{X}'\mathbf{X}= \begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&2&3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&2\\ 1&3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3&6\\ 6&14 \end{pmatrix}. \]

A continuación:

\[ \mathbf{X}'\mathbf{Y}= \begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&2&3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2\\ 3\\ 5 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 10\\ 23 \end{pmatrix}. \]

La inversa de $\mathbf{X}'\mathbf{X}$ es:

\[ (\mathbf{X}'\mathbf{X})^{-1}= \begin{pmatrix} 3&6\\ 6&14 \end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix} \frac{7}{3}&-1\\ -1&\frac{1}{2} \end{pmatrix}. \]

Por tanto:

\[ \widehat{\boldsymbol{\beta}}= \begin{pmatrix} \frac{7}{3}&-1\\ -1&\frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 10\\ 23 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{1}{3}\\ \frac{3}{2} \end{pmatrix}. \]

Por tanto, la recta estimada es:

\[ \widehat{Y}_i=\frac{1}{3}+\frac{3}{2}X_i. \]

Este ejemplo permite observar cómo la expresión matricial resume en una única fórmula todas las operaciones necesarias para obtener los estimadores MCO.

B.7 Obtención de los estimadores mediante sumatorios

La expresión matricial de los estimadores MCO:

\[ \widehat{\boldsymbol{\beta}}=(\mathbf{X}'\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}'\mathbf{Y} \]

puede interpretarse también a partir de los sumatorios de las variables observadas. Esta forma de plantear la estimación permite comprender qué información contienen las matrices $\mathbf{X}'\mathbf{X}$ y $\mathbf{X}'\mathbf{Y}$.

Consideremos ahora un modelo de regresión múltiple con dos variables explicativas:

\[ Y_i=\beta_0+\beta_1X_{1i}+\beta_2X_{2i}+u_i. \]

La matriz de variables explicativas, incluyendo el término independiente, es:

\[ \mathbf{X}= \begin{pmatrix} 1&X_{11}&X_{21}\\ 1&X_{12}&X_{22}\\ \vdots&\vdots&\vdots\\ 1&X_{1n}&X_{2n} \end{pmatrix}. \]

Su transpuesta es:

\[ \mathbf{X}'= \begin{pmatrix} 1&1&\cdots&1\\ X_{11}&X_{12}&\cdots&X_{1n}\\ X_{21}&X_{22}&\cdots&X_{2n} \end{pmatrix}. \]

Al multiplicar ambas matrices obtenemos:

\[ \mathbf{X}'\mathbf{X}= \begin{pmatrix} n & \displaystyle\sum_{i=1}^{n}X_{1i} & \displaystyle\sum_{i=1}^{n}X_{2i}\\ \displaystyle\sum_{i=1}^{n}X_{1i} & \displaystyle\sum_{i=1}^{n}X_{1i}^{2} & \displaystyle\sum_{i=1}^{n}X_{1i}X_{2i}\\ \displaystyle\sum_{i=1}^{n}X_{2i} & \displaystyle\sum_{i=1}^{n}X_{2i}X_{1i} & \displaystyle\sum_{i=1}^{n}X_{2i}^{2} \end{pmatrix}. \]

De forma análoga, si:

\[ \mathbf{Y}= \begin{pmatrix} Y_1\\ Y_2\\ \vdots\\ Y_n \end{pmatrix}, \]

entonces:

\[ \mathbf{X}'\mathbf{Y}= \begin{pmatrix} \displaystyle\sum_{i=1}^{n}Y_i\\ \displaystyle\sum_{i=1}^{n}X_{1i}Y_i\\ \displaystyle\sum_{i=1}^{n}X_{2i}Y_i \end{pmatrix}. \]

Así, la expresión matricial de MCO puede escribirse como:

\[ \widehat{\boldsymbol{\beta}}= \begin{pmatrix} n & \sum X_{1i} & \sum X_{2i}\\ \sum X_{1i} & \sum X_{1i}^{2} & \sum X_{1i}X_{2i}\\ \sum X_{2i} & \sum X_{2i}X_{1i} & \sum X_{2i}^{2} \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} \sum Y_i\\ \sum X_{1i}Y_i\\ \sum X_{2i}Y_i \end{pmatrix}. \]

Esta expresión muestra que la estimación MCO puede realizarse únicamente a partir de los sumatorios de las variables y de sus productos cruzados.

B.7.1 Ejemplo

Supongamos que queremos estimar:

\[ Y_i=\beta_0+\beta_1X_{1i}+\beta_2X_{2i}+u_i \]

a partir de los siguientes datos:

$Y$	$X_1$	$X_2$
10	1	2
12	2	1
15	3	4
18	4	3

A partir de los datos calculamos los siguientes sumatorios:

\[ \sum Y_i=55, \qquad \sum X_{1i}=10, \qquad \sum X_{2i}=10, \]

\[ \sum X_{1i}^{2}=30, \qquad \sum X_{2i}^{2}=30, \]

\[ \sum X_{1i}X_{2i}=28, \]

\[ \sum X_{1i}Y_i=156, \qquad \sum X_{2i}Y_i=149. \]

Por tanto:

\[ \mathbf{X}'\mathbf{X}= \begin{pmatrix} 4&10&10\\ 10&30&28\\ 10&28&30 \end{pmatrix} \]

\[ \mathbf{X}'\mathbf{Y}= \begin{pmatrix} 55\\ 156\\ 149 \end{pmatrix}. \]

Los estimadores se obtienen entonces como:

\[ \widehat{\boldsymbol{\beta}}= \begin{pmatrix} 4&10&10\\ 10&30&28\\ 10&28&30 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 55\\ 156\\ 149 \end{pmatrix}. \]

El resultado es:

\[ \widehat{\boldsymbol{\beta}}= \begin{pmatrix} 3.4\\ 2.1\\ 1.7 \end{pmatrix}, \]

por lo que el modelo estimado sería:

\[ \widehat{Y}_i=3.4+2.1X_{1i}+1.7X_{2i}. \]

# Apéndice: conceptos básicos de algebra matricial {#sec-apendice-matrices} ## Concepto de matriz Una **matriz** es un conjunto ordenado de números dispuesto en filas y columnas. Sea $A$ una matriz con $m$ filas y $n$ columnas. Diremos que $A$ tiene dimensión $m \times n$, donde $m$ representa el número de filas y $n$ el número de columnas. El elemento de la matriz $A$ situado en la fila $i$ y la columna $j$ se denota por $a_{ij}$, con: $$ i=1,\ldots,m, \qquad j=1,\ldots,n. $$ Por ejemplo, la matriz: $$ A= \begin{pmatrix} 2 & 4 & 1\\ 3 & 0 & 5 \end{pmatrix} $$ tiene dimensión $2\times3$. En este caso, $a_{12}=4$, ya que el elemento situado en la primera fila y segunda columna es 4. ## Operaciones con matrices Las principales operaciones con matrices que utilizaremos en econometría son: * **Suma de matrices:** $A+B$. Para poder sumar dos matrices, ambas deben tener las mismas dimensiones. La suma se realiza elemento a elemento. * **Producto de matrices:** $AB$. Para que el producto pueda realizarse, el número de columnas de la primera matriz debe coincidir con el número de filas de la segunda. * **Producto de una matriz por un escalar:** $\lambda A$, donde $\lambda$ es un número real. El resultado es una matriz de las mismas dimensiones que $A$. * **Determinante de una matriz:** $\det(A)$. El determinante únicamente está definido para matrices cuadradas y será especialmente importante para estudiar si una matriz es invertible. La suma de matrices satisface las propiedades asociativa y conmutativa: $$ (A+B)+C=A+(B+C), $$ $$ A+B=B+A. $$ El producto de matrices es asociativo: $$ (AB)C=A(BC), $$ y se verifican las propiedades distributivas: $$ (A+B)C=AC+BC, $$ $$ D(E+F)=DE+DF. $$ Es importante recordar que, en general, **el producto de matrices no es conmutativo**. Es decir: $$ AB\neq BA. $$ Esta característica será especialmente importante al trabajar con la expresión matricial de los estimadores MCO. ## Matriz transpuesta Dada una matriz $A$ de dimensión $m\times n$, se denomina **matriz transpuesta** de $A$, y se denota como $A'$ o $A^T$, a la matriz de dimensión $n\times m$ que se obtiene intercambiando filas por columnas. Por ejemplo: $$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} $$ tiene como transpuesta: $$ A'= \begin{pmatrix} 1 & 4\\ 2 & 5\\ 3 & 6 \end{pmatrix}. $$ La transposición verifica las siguientes propiedades: 1. $(A')'=A$. 2. $(A+B)'=A'+B'$. 3. $(AB)'=B'A'$. La tercera propiedad es especialmente importante: **al transponer un producto se invierte el orden de las matrices**. ## Rango de una matriz El **rango** de una matriz $A$, que denotaremos como $rg(A)$, es el número máximo de filas o columnas linealmente independientes de la matriz. Si $A$ tiene dimensión $m\times n$, entonces: $$ rg(A)\leq \min(m,n). $$ Cuando: $$ rg(A)=\min(m,n), $$ se dice que la matriz tiene **rango completo**. El concepto de rango es especialmente relevante en econometría porque permite determinar si existe información redundante entre las variables explicativas. En particular, la **colinealidad exacta** aparece cuando las columnas de la matriz de variables explicativas no son linealmente independientes. ## Matriz cuadrada Una matriz es **cuadrada** cuando tiene el mismo número de filas y columnas. Si tiene $m$ filas y $m$ columnas, se dice que es una matriz cuadrada de orden $m$. Algunos conceptos importantes asociados a las matrices cuadradas son: * La **diagonal principal** está formada por los elementos: $$ a_{11},a_{22},\ldots,a_{mm}. $$ * Una matriz cuadrada es **diagonal** cuando todos los elementos situados fuera de la diagonal principal son iguales a cero. * La **matriz identidad**, que denotaremos por $I_m$, es una matriz cuadrada cuya diagonal principal está formada por unos y cuyos restantes elementos son ceros: $$ I_m= \begin{pmatrix} 1&0&\cdots&0\\ 0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&1 \end{pmatrix}. $$ La matriz identidad desempeña un papel equivalente al número 1 en las operaciones con escalares. * Una matriz cuadrada $A$ es **invertible** si existe una matriz $A^{-1}$ tal que: $$ AA^{-1}=A^{-1}A=I_m. $$ La matriz $A^{-1}$ recibe el nombre de **matriz inversa** de $A$. Una matriz cuadrada es invertible si su determinante es distinto de cero: $$ \det(A)\neq0. $$ * La **traza** de una matriz cuadrada $A$, que denotaremos como $tr(A)$, es la suma de los elementos de su diagonal principal: $$ tr(A)=\sum_{i=1}^{m}a_{ii}. $$ Entre sus propiedades destacan: $$ tr(A+B)=tr(A)+tr(B), $$ $$ tr(\lambda A)=\lambda tr(A). $$ Además, cuando los productos están correctamente definidos: $$ tr(AB)=tr(BA). $$ * Una matriz cuadrada $A$ es **simétrica** cuando coincide con su transpuesta: $$ A=A'. $$ Por ejemplo: $$ A= \begin{pmatrix} 2&1\\ 1&3 \end{pmatrix} $$ es simétrica. ## Aplicación de las matrices a la estimación por MCO La principal razón por la que repasamos estos conceptos es que el modelo de regresión lineal puede expresarse de forma compacta mediante matrices. Consideremos un modelo con una variable dependiente $Y$ y una variable explicativa $X$: $$ Y_i=\beta_0+\beta_1X_i+u_i. $$ Para $n$ observaciones, podemos escribir: $$ \mathbf{Y}=\mathbf{X}\boldsymbol{\beta}+\mathbf{u}, $$ donde: $$ \mathbf{Y}= \begin{pmatrix} Y_1\\ Y_2\\ \vdots\\ Y_n \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{X}= \begin{pmatrix} 1&X_1\\ 1&X_2\\ \vdots&\vdots\\ 1&X_n \end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol{\beta}= \begin{pmatrix} \beta_0\\ \beta_1 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{u}= \begin{pmatrix} u_1\\ u_2\\ \vdots\\ u_n \end{pmatrix}. $$ El estimador de mínimos cuadrados ordinarios puede expresarse mediante: $$ \widehat{\boldsymbol{\beta}}=(\mathbf{X}'\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}'\mathbf{Y}. $$ Esta expresión permite obtener simultáneamente todos los coeficientes estimados del modelo. ### Ejemplo sencillo mediante multiplicación de matrices Supongamos que disponemos de tres observaciones: | $X$ | $Y$ | | --: | --: | | 1 | 2 | | 2 | 3 | | 3 | 5 | La matriz de variables explicativas, incluyendo el término independiente, es: $$ \mathbf{X}= \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&2\\ 1&3 \end{pmatrix}, $$ mientras que el vector de la variable dependiente es: $$ \mathbf{Y}= \begin{pmatrix} 2\\ 3\\ 5 \end{pmatrix}. $$ En primer lugar, calculamos: $$ \mathbf{X}'\mathbf{X}= \begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&2&3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&2\\ 1&3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3&6\\ 6&14 \end{pmatrix}. $$ A continuación: $$ \mathbf{X}'\mathbf{Y}= \begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&2&3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2\\ 3\\ 5 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 10\\ 23 \end{pmatrix}. $$ La inversa de $\mathbf{X}'\mathbf{X}$ es: $$ (\mathbf{X}'\mathbf{X})^{-1}= \begin{pmatrix} 3&6\\ 6&14 \end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix} \frac{7}{3}&-1\\ -1&\frac{1}{2} \end{pmatrix}. $$ Por tanto: $$ \widehat{\boldsymbol{\beta}}= \begin{pmatrix} \frac{7}{3}&-1\\ -1&\frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 10\\ 23 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{1}{3}\\ \frac{3}{2} \end{pmatrix}. $$ Por tanto, la recta estimada es: $$ \widehat{Y}_i=\frac{1}{3}+\frac{3}{2}X_i. $$ Este ejemplo permite observar cómo la expresión matricial resume en una única fórmula todas las operaciones necesarias para obtener los estimadores MCO. ## Obtención de los estimadores mediante sumatorios La expresión matricial de los estimadores MCO: $$ \widehat{\boldsymbol{\beta}}=(\mathbf{X}'\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}'\mathbf{Y} $$ puede interpretarse también a partir de los **sumatorios de las variables observadas**. Esta forma de plantear la estimación permite comprender qué información contienen las matrices $\mathbf{X}'\mathbf{X}$ y $\mathbf{X}'\mathbf{Y}$. Consideremos ahora un modelo de regresión múltiple con dos variables explicativas: $$ Y_i=\beta_0+\beta_1X_{1i}+\beta_2X_{2i}+u_i. $$ La matriz de variables explicativas, incluyendo el término independiente, es: $$ \mathbf{X}= \begin{pmatrix} 1&X_{11}&X_{21}\\ 1&X_{12}&X_{22}\\ \vdots&\vdots&\vdots\\ 1&X_{1n}&X_{2n} \end{pmatrix}. $$ Su transpuesta es: $$ \mathbf{X}'= \begin{pmatrix} 1&1&\cdots&1\\ X_{11}&X_{12}&\cdots&X_{1n}\\ X_{21}&X_{22}&\cdots&X_{2n} \end{pmatrix}. $$ Al multiplicar ambas matrices obtenemos: $$ \mathbf{X}'\mathbf{X}= \begin{pmatrix} n & \displaystyle\sum_{i=1}^{n}X_{1i} & \displaystyle\sum_{i=1}^{n}X_{2i}\\ \displaystyle\sum_{i=1}^{n}X_{1i} & \displaystyle\sum_{i=1}^{n}X_{1i}^{2} & \displaystyle\sum_{i=1}^{n}X_{1i}X_{2i}\\ \displaystyle\sum_{i=1}^{n}X_{2i} & \displaystyle\sum_{i=1}^{n}X_{2i}X_{1i} & \displaystyle\sum_{i=1}^{n}X_{2i}^{2} \end{pmatrix}. $$ De forma análoga, si: $$ \mathbf{Y}= \begin{pmatrix} Y_1\\ Y_2\\ \vdots\\ Y_n \end{pmatrix}, $$ entonces: $$ \mathbf{X}'\mathbf{Y}= \begin{pmatrix} \displaystyle\sum_{i=1}^{n}Y_i\\ \displaystyle\sum_{i=1}^{n}X_{1i}Y_i\\ \displaystyle\sum_{i=1}^{n}X_{2i}Y_i \end{pmatrix}. $$ Así, la expresión matricial de MCO puede escribirse como: $$ \widehat{\boldsymbol{\beta}}= \begin{pmatrix} n & \sum X_{1i} & \sum X_{2i}\\ \sum X_{1i} & \sum X_{1i}^{2} & \sum X_{1i}X_{2i}\\ \sum X_{2i} & \sum X_{2i}X_{1i} & \sum X_{2i}^{2} \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} \sum Y_i\\ \sum X_{1i}Y_i\\ \sum X_{2i}Y_i \end{pmatrix}. $$ Esta expresión muestra que la estimación MCO puede realizarse únicamente a partir de los **sumatorios de las variables y de sus productos cruzados**. ### Ejemplo Supongamos que queremos estimar: $$ Y_i=\beta_0+\beta_1X_{1i}+\beta_2X_{2i}+u_i $$ a partir de los siguientes datos: | $Y$ | $X_1$ | $X_2$ | | --: | ----: | ----: | | 10 | 1 | 2 | | 12 | 2 | 1 | | 15 | 3 | 4 | | 18 | 4 | 3 | A partir de los datos calculamos los siguientes sumatorios: $$ \sum Y_i=55, \qquad \sum X_{1i}=10, \qquad \sum X_{2i}=10, $$ $$ \sum X_{1i}^{2}=30, \qquad \sum X_{2i}^{2}=30, $$ $$ \sum X_{1i}X_{2i}=28, $$ y: $$ \sum X_{1i}Y_i=156, \qquad \sum X_{2i}Y_i=149. $$ Por tanto: $$ \mathbf{X}'\mathbf{X}= \begin{pmatrix} 4&10&10\\ 10&30&28\\ 10&28&30 \end{pmatrix} $$ y: $$ \mathbf{X}'\mathbf{Y}= \begin{pmatrix} 55\\ 156\\ 149 \end{pmatrix}. $$ Los estimadores se obtienen entonces como: $$ \widehat{\boldsymbol{\beta}}= \begin{pmatrix} 4&10&10\\ 10&30&28\\ 10&28&30 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 55\\ 156\\ 149 \end{pmatrix}. $$ El resultado es: $$ \widehat{\boldsymbol{\beta}}= \begin{pmatrix} 3.4\\ 2.1\\ 1.7 \end{pmatrix}, $$ por lo que el modelo estimado sería: $$ \widehat{Y}_i=3.4+2.1X_{1i}+1.7X_{2i}. $$

\(X\)	\(Y\)
1	2
2	3
3	5

\(Y\)	\(X_1\)	\(X_2\)
10	1	2
12	2	1
15	3	4
18	4	3